相関係数とは？意味・求め方・強さの目安を散布図つきでわかりやすく解説

「気温が上がるとアイスが売れる」「勉強時間が長いほどテストの点数が高い」——私たちの身のまわりには、2つのデータが連動して動く関係がたくさんあります。この関係の強さをひとつの数値で表したものが 相関係数（Correlation Coefficient） です。

相関係数とは、2つのデータの直線的な関係の強さと方向を −1 から +1 の値で表す指標です。この章では、散布図による関係の可視化から、相関係数 r の求め方（手計算の例つき）、強さの目安、そして「相関があっても因果があるとは限らない」という重要な注意点まで、図解でわかりやすく解説します。

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12.1 まず散布図を描いてみよう：相関の3つのパターン

　2つのデータの関係を調べる第一歩は、散布図（Scatter Plot） を描くことです。横軸に一方のデータ X（例：気温）、縦軸にもう一方のデータ Y（例：アイスの売上）をとり、1組のデータを1つの点としてプロットします。

相関の種類	散布図の形	相関係数 r	身近な例
正の相関	右上がり	r > 0	気温↑ → アイスの売上↑
無相関	散らばり	r ≈ 0	靴のサイズとテストの点数
負の相関	右下がり	r < 0	気温↑ → ホットコーヒーの売上↓

　散布図を見れば関係の「雰囲気」はつかめますが、「強い関係なのか、弱い関係なのか」を人によらず客観的に判断するには数値が必要です。そこで登場するのが相関係数です。

12.2 相関係数 r とは：関係の強さを −1〜+1 で表す

　相関係数（正式にはピアソンの積率相関係数）は、記号 r で表し、必ず −1 ≤ r ≤ +1 の範囲に収まります。符号（＋か−か）が関係の方向を、絶対値の大きさが関係の強さを表します。

r の値	解釈
r = +1	完全な正の相関（全点が右上がりの直線上）
+0.7 ≤ r < +1	強い正の相関
+0.3 ≤ r < +0.7	中程度の正の相関
−0.3 < r < +0.3	弱い相関（ほぼ無相関）
−0.7 < r ≤ −0.3	中程度の負の相関
−1 < r ≤ −0.7	強い負の相関
r = −1	完全な負の相関（全点が右下がりの直線上）

💡 この区分はあくまで一般的な目安です。分野によって「強い」とされる基準は異なります。

12.3 相関係数の求め方：計算例つき

相関係数の計算式

相関係数 r は次の式で計算します。

$r = \frac{\sum(x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i – \bar{x})^2} \times \sqrt{\sum(y_i – \bar{y})^2}}$

一見すると複雑な式ですが、考え方はシンプルです。

　分子は、xとyが同じ方向にどれだけ一緒に増減しているかを表しています。xが平均より大きいときにyも平均より大きいことが多ければ分子は正になり、逆の動きをすることが多ければ負になります。統計学では、この「一緒に増減する度合い」を表す量を「共分散」と呼びます。

　一方、分母はxとyそれぞれのばらつきの大きさを表しています。

　統計学では、この「一緒に増減する度合い」を表す共分散を、それぞれの標準偏差で標準化したものが相関係数です。

　つまり相関係数は、「一緒に増減する度合い」を「それぞれのばらつきの大きさ」で調整した値です。そのため、単位に依存せず、値は必ず -1〜+1 の範囲に収まります。気温（℃）と売上（円）のように、単位がまったく異なるデータ同士でも関係の強さを比較できるのは、この標準化のおかげです。

計算例：勉強時間とテストの点数

　5人の学生の「1日の勉強時間（x：時間）」と「テストの点数（y：点）」のデータで、実際に r を計算してみましょう。

x（時間）	y（点）	x − x̄	y − ȳ	(x−x̄)(y−ȳ)	(x−x̄)²	(y−ȳ)²
1	40	−2	−20	40	4	400
2	60	−1	0	0	1	0
3	50	0	−10	0	0	100
4	70	+1	+10	10	1	100
5	80	+2	+20	40	4	400
合計（Σ）	—	—	—	90	10	1000

平均は $\bar{x}=3 , \bar{y}=60$ です。式に当てはめると、

$r = \frac{90}{\sqrt{10} \times \sqrt{1000}} = \frac{90}{100} = 0.90$

r = 0.90 なので、「勉強時間とテストの点数には強い正の相関がある」と言えます。

💡 実務メモ：Excel なら CORREL 関数（=CORREL(x範囲, y範囲)）で一発で計算できます。手計算の仕組みを一度理解しておけば、あとはツールに任せて大丈夫です。

12.4 相関係数の3つの落とし穴

　相関係数は便利な指標ですが、数値だけを見て判断すると誤解につながる場面があります。代表的な3つの落とし穴を押さえておきましょう。

落とし穴	何が起きるか	対策
① 直線関係しか測れない	「適度な運動は健康に良いが、やりすぎは逆効果」のような山型（曲線）の関係では、実際には関係があるのに r ≈ 0 になる	必ず散布図を目で確認する
② 外れ値に弱い	たった1点の極端なデータで r が大きく変わってしまう	散布図で外れ値の有無を確認し、原因を調べる
③ データが少ないと偶然に左右される	データが5点程度だと、実際には無関係でも偶然 |r| > 0.8 が出ることがある	データ数を確保する。r が意味のある値かは仮説検定（第11章）の考え方（無相関の検定）で確認できる

⚠️ 共通する教訓は「r の数値だけで判断せず、必ず散布図とセットで見る」ことです。

12.5 相関と因果は別物：アイスが売れると水難事故が増える？

　相関係数が高くても、それは「X が Y の原因である」ことを意味するわけではありません。相関関係と因果関係は別物です。これは、統計学でもっとも重要な注意点の一つです。

　有名な例が「アイスクリームの売上」と「水難事故の件数」です。この2つには正の相関が見られることがありますが、「アイスを食べると溺れる」という因果関係があるわけではありません。

　実際には、気温という第三の要因が両方に影響しています。気温が上がるとアイスクリームを買う人が増え、同時に海やプールで泳ぐ人も増えるため、水難事故も増えやすくなります。このように、2つの変数の両方に影響を与える第三の要因を交絡因子（こうらくいんし）と呼びます。

　そのため、相関係数が高いだけでは因果関係を結論づけることはできず、実験や因果推論など別の方法で検証する必要があります。

パターン	説明	例
因果関係	X が Y を直接引き起こす	勉強時間↑ → 点数↑
交絡因子	第三の変数 Z が X にも Y にも影響	気温 → アイス売上・水難事故の両方
偶然の相関	論理的に無関係だがたまたま相関する	ある年の「映画の公開本数」と「プールの溺死者数」など

💡 「相関がある」とわかったら、それは因果関係の仮説を立てるスタート地点です。本当に因果があるかは、条件をそろえた実験や追加の調査で確かめる必要があります。

第12章のまとめ

ポイント	内容
散布図	2つのデータの関係を可視化する第一歩。右上がりなら正の相関、右下がりなら負の相関
相関係数 r	−1 ≤ r ≤ +1。符号が方向、絶対値が強さ。単位が違うデータどうしでも比較できる
強さの目安	|r| ≥ 0.7 で強い相関、0.3〜0.7 で中程度、0.3 未満はほぼ無相関（分野により基準は異なる）
落とし穴	直線関係しか測れない・外れ値に弱い・少数データでは偶然に左右される。散布図とセットで見る
相関≠因果	相関があっても因果があるとは限らない。交絡因子（第三の変数）を疑う

　2つのデータに相関があるとわかったら、次のステップは「一方の値からもう一方を予測する」ことです。散布図に直線を引いてデータの関係を式にする回帰分析を、第13章で解説します。

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