確率分布とは？二項分布・ポアソン分布を図解でわかりやすく解説

　「コインを10回投げたとき、表がちょうど7回出る確率は？」「1時間に来店するお客さんは平均3人だとして、5人来る確率は？」——こうした問いに答えてくれるのが 確率分布 の考え方です。

　この章では、データのばらつきを確率で表す 確率分布 を基礎から学びます。今回は 二項分布 と ポアソン分布 を、具体例・公式・図解でしっかり理解しましょう。

6.1 確率分布とは何か
6.2 二項分布 — コイン投げで理解する「成功回数の分布」
6.3 ポアソン分布 — 「まれな出来事の件数」を予測する
6.4 二項分布とポアソン分布の使い分け・関係
この章の用語まとめ

6.1 確率分布とは何か

　確率分布とは、確率変数が取りうる値ごとに「その値が起こる確率」を対応させた関係のことです。前章の「1つの事象の確率」をさらに発展させ、どんな値がどのくらいの確率で起きるか を分布として把握できるようにしたものです。

　たとえばコインを3回投げたとき、表の枚数 X は 0〜3 のどれかになります。それぞれの確率を並べると次のようになります。

表の枚数 X	0	1	2	3
P(X = k)	1/8	3/8	3/8	1/8

　この表全体が「コイン3回投げの確率分布」です。すべての確率を足すと必ず 1（= 100%）になります。

📌 確率変数：取りうるXに対して、それぞれ起こる確率が与えられるとき、変数Xを確率変数という。（例：コインを投げるたびに変わる「表の枚数」）。大文字の X で表すのが慣例。

6.2 二項分布 — コイン投げで理解する「成功回数の分布」

　二項分布（Binomial Distribution）は、「成功か失敗か」の2択で起きる試行をn回繰り返したとき、成功がk回起きる確率を表す分布です。下記条件で確率分布を考えます。

各回の結果は「成功（確率 p）」か「失敗（確率 1−p）」の2択
n回の試行は互いに独立（1回の結果が次に影響しない）

二項分布の公式

P(X=k) = B(n,p) =  $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$ × p^k × (1−p)^(n−k)
　　　　　　 　　　↑　k回成功 (n-k)回失敗
　　成功と失敗がどの回で起こるかの場合の数
  n：試行回数
  k：成功回数（0, 1, 2, ..., n）
  p：成功確率
  $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$  =  $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ 

期待値： $μ= \sum_{k=1}^{n} kP(k)=np$ 
分　散： $σ^2 = \sum_{k=1}^{n} (k-μ)^2P(k)=np(1-p)$

具体例：不良品率10%の工場ラインで10個中k個が不良品になる確率

n=10（10個検査）、p=0.1（不良品率10%）のとき、不良品数 X の確率分布を計算してみましょう。

P(X=0) =  $\begin{pmatrix} 10 \\ 0 \end{pmatrix}$  × 0.1⁰ × 0.9¹⁰ ≈ 0.349（34.9%）
P(X=1) =  $\begin{pmatrix} 10 \\ 1 \end{pmatrix}$  × 0.1¹ × 0.9⁹  ≈ 0.387（38.7%）
P(X=2) =  $\begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix}$  × 0.1² × 0.9⁸  ≈ 0.194（19.4%）
P(X=3) =  $\begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}$  × 0.1³ × 0.9⁷  ≈ 0.057（5.7%）
  …（以下省略）

平均 = 10 × 0.1 = 1.0 個
分散 = 10 × 0.1 × 0.9 = 0.9

　下の図は、n=10 で確率 p を変えたときの二項分布の形を比べたものです。p=0.5 のとき左右対称な山型になり、p が偏るほど分布が一方に傾きます。

二項分布のポイントまとめ

項目	内容
適用場面	n回の独立な試行での成功回数の確率分布
パラメータ	n（試行回数）、p（成功確率）
平均	np
分散	np(1−p)
典型例	コイン投げ、不良品検査、アンケートの回答

6.3 ポアソン分布 — 「まれな出来事の件数」を予測する

　ポアソン分布（Poisson Distribution）は、単位時間や単位面積で、平均 λ（ラムダ）回起きる事象が、k 回起きる確率を表す分布です。次のような状況で使います。

事象が起きる確率は非常に小さい（まれな出来事）
試行回数 n は非常に大きい
各事象は独立に起きる

ポアソン分布の公式

　　 $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$ 

 λ：単位あたりの平均発生回数
  k：発生回数（0, 1, 2, ...）
  e：自然対数の底（≈ 2.718）

期待値：μ = λ
分散　：σ² = λ   ← 期待値と分散が一致

具体例：1時間の来店客数が平均3人のカフェ

　λ=3（1時間に平均3人来店）のとき、 k 人来る確率を求めてみます。

 $P(X = 0) = \frac{3^0 e^{-3}}{0!}\approx0.05\ (5\%)$ 
 $P(X = 1) = \frac{3^1 e^{-3}}{1!}\approx0.15\ (15\%)$ 
 $P(X = 2) = \frac{3^2 e^{-3}}{2!}\approx0.22\ (22\%)$ 
 $P(X = 3) = \frac{3^3 e^{-3}}{3!}\approx0.22\ (22\%)$ 
 $P(X = 4) = \frac{3^4 e^{-3}}{4!}\approx0.17\ (17\%)$ 
  …（以下省略）

期待値 = 分散 = λ = 3

　下の図は、λ の値を変えたときのポアソン分布の形を比べたものです。λ が大きくなるほど分布の山が右にずれ、かつ平らに広がっていきます。(正規分布に近づく。)

ポアソン分布のポイントまとめ

項目	内容
適用場面	単位あたり平均λ回起こる事象がk回起こる確率分布
パラメータ	λ（単位あたりの平均発生回数）
期待値	λ
分散	λ
典型例	来客数、コールセンターの着信数、交通事故件数

6.4 二項分布とポアソン分布の使い分け・関係

　二項分布とポアソン分布は、どちらも「何回起きるか」を扱いますが、使いどころが違います。大まかな選び方は次のとおりです。

比較項目	二項分布	ポアソン分布
試行回数 n	有限・明確（例：10回）	非常に大きい・不明確（例：1時間の全通行人数）
成功確率 p	0.1〜0.9 程度	非常に小さい（例：0.001以下）
パラメータ	n と p の2つ	λ（= np）の1つ
典型例	コイン投げ10回、品質検査	1時間の来客数、1日の事故件数

　n が非常に大きく、p が非常に小さいとき（λ = np が一定）、二項分布はポアソン分布に近づくという重要な関係があります。これを「ポアソン近似」と呼び、実務でよく使われます。

この章の用語まとめ

用語	意味
確率変数	試行のたびに値が変わる数値。大文字 X で表す
確率分布	確率変数が取りうる値とその確率の対応関係
二項分布 B(n, p)	n回の独立な試行で成功がk回起きる確率分布
ポアソン分布 Po(λ)	単位あたり平均λ回の事象がk回起きる確率分布
期待値	確率分布上の「確率で重みづけした平均」二項分布ではnp、ポアソン分布ではλ
ポアソン近似	n大・p小のとき二項分布をポアソン分布（λ=np）で近似する手法

　次章では、統計学で最も重要な分布である 正規分布 を学びます。二項分布やポアソン分布が「離散的（とびとびの値）」なのに対し、正規分布は「連続的な値」を扱います。68-95-99.7ルールや標準化、中心極限定理など、推測統計の土台となる概念を理解していきましょう。

【統計学入門第6章】確率分布とは？二項分布・ポアソン分布を図解でわかりやすく解説